179 школа, варианты устных вступительных испытаний в 7 класс

1. Имеется куб. Каждому его ребру присваивается натуральное число от 1 до 12. Все числа разные. Может ли получиться так, что для всех вершин, суммы соответствующих чисел для ребер, которые сходятся к данной вершине, совпадают?

(Решение. Пусть для каждой из вершин, сумма чисел, присвоенных сходящимся к ним ребрам, равна N. Но всего 8 вершин, и тогда сумма чисел для всех вершин есть 8N. В кубе 12 ребер. 78 - это сумма всех чисел, присвоенных ребрам (с 1 по 12). Но любое из ребер сходится ровно к двум вершинам. Поэтому 4N=78. Получается, что N=19,5. Но это не целое число, что противоречит условию. Таким образом, Ответ для данной задачи - Нет).

2. Весы уравновешены, если на левой чаше весов - авокадо и манго, а на правой - абрикос и банан. Но авокадо вместе с абрикосом легче, чем манго с бананом. С другой стороны, абрикос с манго весят легче, чем авокадо с бананом. Что тяжелее: авокадо, манго, абрикос или банан?

3. Изобразить на листе бумаги в клетку 6-угольник и треугольник. При этом вершины каждой из фигур должны быть в узлах клетки, периметры фигур должны быть одинаковы, и площади их тоже должны быть одинаковы.

4. Число 111…111 (2019 единиц) разделили на 3. Сколько нулей получилось в записи частного?

(Решение: В данном числе, которое очевидно делится на 3, так как 2+1+9 делится на 3, всего 673 троек единиц: 111. Но 111:3=37. Таким образом, если заданное число разделить на 3, то получится 37037037...037. Комбинация 037 повторяется при этом 672 раза, и таким образом, 672 - ответ задачи).

5. Василий идет с постоянной скоростью навстречу потоку автобусов. Автобусы ходят с одинаковыми интервалами, и их скорости также не меняются и одинаковы. Василий встречает автобусы каждые 10 минут. Но если он развернется и пойдет в противоположном направлении, то он будет встречаться с ними каждые 14 минут. Вопрос задачи: Как часто Василий будет видеть автобусы, если он остановится и будет стоять неподвижно?

6. Имеется следующий набор чисел: 1;1;1;1;2;2;2;3;3;3. Эти числа надо расположить по кругу таким образом, чтобы сумму любых 3-х чисел, взятых одно за другим, нельзя было разделить на 3 без остатка.

7. Имеется 70 бумажных квадратиков. Каждый из них с одной стороны зелёный, а с другой - белый. 12 квадратиков лежат на столе зеленой стороной вверх, остальные - белой. Каким образом можно с закрытыми глазами разделить квадратики на 2 части, чтобы в каждой из них было одинаковое количество зелёных квадратиков?

8. На окружности поставили 10 точек так, что расстояния между соседними точками одинаковы. Можно ли числа от 1 до 10 расставить рядом с этими точками так, чтобы для любых двух соседних чисел их сумма равнялась сумме двух диаметрально противоположных чисел?

9. У Анатолия есть три пробирки, в которых помещается ровно 28, 18 и 10 граммов спирта. Первая пробирка полная, остальные пустые. Анатолию надо отмерить ровно 14 граммов спирта. Как ему это сделать?