Подготовка к ДВИ с репетитором математики, свойства функций

  Задание, которое мы здесь разберем, не является типичным для ДВИ или для ЕГЭ. Но его запросто можно получить, например, в качестве дополнительного вопроса на устном экзамене. Всё дело в том, что одним из важнейших условий успеха на ДВИ (как, впрочем, и на ЕГЭ), является умение понимать свойства функций и хорошо уметь строить их графики. А для этого следует, в том числе, и уметь находить их множества значений.
 
В примере, который показан на рисунке, необходимо как раз найти множество значений заданной функции f(x). Смотрим на функцию внимательно и видим, что второе и третье слагаемые в выражении функции обратны друг другу. Это сильно упростит решение задачи.
 
Обозначим первое из слагаемых g(x). Это выражение удобно преобразовать, чтобы лучше видеть поведение g(x) и 1/g(x), когда x стремится к бесконечности.
 
Здесь также можно воспользоваться известным неравенством, согласно которому сумма двух взаимно обратных положительных чисел больше либо равна двум. Каждый, кто намерен серьёзно готовиться к ДВИ и к ЕГЭ, должен это неравенство хорошо знать. Оно элементарно доказывается, правда, я провел доказательство такого неравенства для отрицательных чисел, поскольку именно с ними мы и имеем дело в данном задании.
 

Далее легко находим множества значений функций g(x) и 1/g(x).
 
Так как наибольшее значение выражения, очевидно, равно -6 в силу доказанного нами известного неравенства (достигается оно при g=-1), это и будет верхняя граница искомого множества. Вычисляем теперь значения выражения f(g(x)) при g равных -1,5 и -0,6. Второе значение меньше, однако функция этого значения принимать не может, поскольку она стремится к нему на бесконечности, не достигая самого этого значения, поэтому в ответе его следует указать в круглой скобке.
 
Разумеется, можно было бы использовать и метод исследования функций с помощью производных, мы же пошли другим путём. Но этот пример эффективно способствует развитию навыков исследования функций и построения их графиков, что всегда обеспечит превосходную экономию времени на ДВИ и ЕГЭ по математике.