Метод рационализации для ЕГЭ по математике

  В последние годы на ЕГЭ по математике стали часто встречаться такие неравенства с логарифмами, где не только само выражение, логарифм которого рассматривается, но и основание логарифма зависит от x. Но такие задания удобнее и бустрее выполнять используя метод оптимизации. Этот метод иногда еще называют методом декомпозиции.
 
На рисунке сперва разбирается простейшее неравенство, с целью иллюстрации работы метода. Неравенство (*) получается именно после применения этого метода. Его очень легко проверить, если решать неравенство обычным способом, рассматривая два случая - когда основание логарифма меньше или больше 1. В первом случае, как известно, знак неравенства изменится всилу свойств убывающей функции, тогда как во втором знак сохранится.
 
Таким образом суть метода рационализации очевидна. В общем виде она показанана рисунке выделенной зеленой рамочкой.
 

  Заметим, что с помощью метода оптимизации, правда в несколько иной форме, удобно решать и некоторые неравенства с моулями.
 
В нижней области рисунка как раз и показан принцип работы метода применительно к такого рода неравенствам. Очевидно, что в ряде случаев метод оптимизации даст существенную экономию времени на ЕГЭ или ДВИ по математике.