Подготовка к Курчатовскому экзамену в 5 класс. Недавний (2022) N8

1. У белочки есть орешки: 5 маленьких, 9 очень маленких, 10 больших и 25 очень-очень больших. Белочка решила подарить всем своим знакомым белкам по два орешка. Но при этом в каждом подарке должен быть ровно один очень-очень большой орешек. Может ли белочка таким образом подарить все орешки? Докажите.

2. В 20-этажном доме в каждом подъезде на каждом этаже - по три квартиры. В квартире с номером 313 - особый приз. На каком этаже раположена эта квартира?

3. Маленькому Александру 2 годика. Три года назад сумма возрастов сестёр Александра - Насти и Тани - была равна десяти годам. Через сколько лет всем вместе им троим будет шестьдесят лет?

4. Рассмотрим число 2023. Выпишите все натуральные числа, следующие за данным числом, но так, чтобы у любого из них сумма цифр была такая же, как и у исходного числа. И при этом каждое выписанное число не должно отличаться от исходного больше, чем на 150. Также, обязательно надо доказать, что других таких чисел нет.

5. В математической тетради нарисуйте уголок, состоящий ровно из трёх клеток. Рассмотрим восемь таких одинаковых уголков. Ворона Ипсилон хочет сложить из этих уголков прямоугольник. Но при этом она не может накладывать одну фигурку на другую.
1) Сколько различных прямоугольников сможет сложить Ипсилон, если она каждый раз будет использовать точно все 8 уголков? Почему нет других вариантов?
2) Вычислите площади, а также периметры всех полученных Ипсилон прямоугольников.

6. Все банки яблочного варенья одинаковы. Все банки малинового варенья тоже одинаковы. Карлсон поедает любое варенье в два раза быстрее, чем Малыш. Он очень любит варенье. Вдвоём они съели тридцать банок варенья. Ели непрерывно, а начали одновременно. Сперва Малыш ел яблочное варенье, а Карлсон - малиновое. Но вдруг в один момент времени они поменялись: Карлсон начал поедать яблочное, а Малыш - малиновое. Наконец, пробили часы, и в этот момент и Малыш, и Карлсон закончили доедать последние банки. В итоге, малинового варенья было съедено поровну. Сколько банок яблочного варенья съел Карлсон?

7. Карлсон, Фрекен Бок и Малыш договорились, что в заданные дни месяца марта каждый из них будет съедать по 3 или 5 банок варенья. Так они и делали, но всего лишь один раз в один из дней только один из них забыл съесть варенье. Остальные же съедали свои банки вовремя. В результате за все эти мартовские дни Карлсон съел 29 банок варенья, Фрекен Бок – 24 банки варенья и Малыш – 23 банки варенья.
Вопрос: кто из них забыл тогда съесть варенье?