Задания репетитора. В 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы LI

1. Александр Николаевич разорвал свой большой белый лист бумаги на 8 листков. Затем - один из получившихся листков - ещё на 8, и так далее. Он обещал, что получит таким образом ровно 2022 листка. Можно ли верить этому обещанию?

2. Имеется строка из 12 ячеек. В первой ячейке цифра цифра 9, а в последней 5. Надо проставить по цифре во все другие ячейки, чтобы сумма цифр в любых трёх соседних ячейках была 14. Возможно ли это?

3. Та же задача, но в последней ячейке цифра 6.

4. Математический робот сделал на 3D-принтере 3 детали. Массы этих деталей известны всем, однако робот знает, какая из деталей сколько весит, а механический пёс - нет. Как робот сможет доказать псу, что каждая конкретная деталь весит именно столько, если имеются автоматические весы, которые покажут, какая из двух деталей тяжелее и на сколько? Но весы работают лишь одно взвешивание, далее выходят из строя.

5. Задача предыдущая, но 9 деталей, известны все массы, они разные, и взвешиваний на этот раз 2.

6. У мадам Зои 15-этажный замок и одна хрустальная пирамидка. Как определить, с какого самого низкого этажа следует бросать пирамидку, чтобы её разбить? Какого количества бросаний гарантированно хватит?

7. Предыдущая задача, но пирамидок всего две. Достаточно ли четырёх или пяти бросаний?

8. Смелый пилот обнаружил улетающую опасную мишень на расстоянии 90 километров от него. Но самолёт смелого пилота летит в 10 раз быстрее, чем мишень. Какое расстояние предстоит преодолеть смелому пилоту до мишени, чтобы тараном уничтожить её?

9. Имеется 13 прямоугольников, ширина каждого по 1, а длины соответственно равны 1, 2, 3, ..., 13. Помогите хитрому лису составить из них прямоугольник, у которого стороны больше, чем 1. Пробелы и накрытия запрещаются.