Задания репетитора. В 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы LII

1. В лесу медведь вконец озверел: он решил, что каждый зверь за сбор земляники должен платить ему налог. Теперь зверям придётся платить не только фиксированную сумму за каждый сбор, но и процент от количества собранных ягод. За 50 ягод звери будут платить 11 фунтов, а за 110 ягод - 23 фунта. Какой будет сумма налога за 80 ягод?

2. Учёный медведь способен совершить лишь 2 вида математических операций: переставить цифры любого числа или умножить число на 3. А математик попугай выписал все числа, меньшие 100, которые способен получить медведь из единицы. Каковы эти числа? Заметим, что числа не должны начинаться с цифры 0.

3. Возвращаясь домой, Александр Николаевич заметил на заборе новое число. Он достал свой блокнот, быстренько на калькуляторе разелил то число на 23 и на 25. В первом случае в остатке получилось 8 а во втором остатка не было вообще. Каково число, которое обнаружил Александр Николаевич на этот раз?

4. Учёный медведь способен совершить лишь 2 вида математических операций: переставить цифры любого числа или умножить число на 2. Больше он ни на что не способен. Сможет ли этот медведь, начав с единицы, прийти к числу 2022? Никакие числа не должны начинаться с цифры 0.

5. Рассмотрим последовательность из двухсот целых чисел, в которых каждое следующее число либо в девять раз больше, либо вдвое меньше предшествующего ему. Помогите учёному лису доказать, что сумма всех чисел этой последовательности делится на 17 без остатка.

6. Иллюзионист барсук поставил на сцену две тумбочки. Первую он оставил пустой, а на вторую высыпал из магического шара набор карточек. Одна сторона каждой карточки серого цвета, а другая зелёная. Но ровно одна карточка лежит зелёной стороной вверх. У барсука завязаны глаза, и видеть цвет карточек он не может. Как у барсука получается сделать так, чтобы зелёных карточек оказалось поровну на обеих тумбочках? Он только перекладывает карточки с одной тумбочки на другую и может ещё их переворачивать.

7. Предыдущая задача, но изначально на второй тумбочке 10 карточек лежали зелёной стороной вверх. Получится ли у барсука его фокус на этот раз?

8. Возвращаясь домой с рыбалки, Александр Николаевич заметил на заборе очередное число. Он не смог разглядеть в этом числе семь цифр, но, понимая, что число было чётным, достал свой блокнот и записал там те цифры, котрые он видел, в том же порядке, а вместо тех, что были неразборчивы, проставил цифры наугад. Затем он на калькуляторе разделил полученное число на 2 и умножил его же на 3. Придя домой, включил компьютер и с его помощью нашёл остатки при делении результатов своих вычислений на 5. Найдите разность этих остатков.

9. На волшебном столе иллюзионист барсук расположил в один ряд двадцать карточек: десять зелёных и десять серых. Доказать, что на этом столе можно выбрать десять лежащих подряд карточек, чтобы из этой десятки серых и зелёных было поровну.