Задания репетитора. В 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы LVII

1. Взявшись за руки, 100 человек стоят по кругу. Любой из них либо рыцарь, либо лжец. Каждый из них заявил: «Сосед справа от меня и трое сразу за ним – лжецы.» Как много лжецов в данной задаче?

2. Их было трое: волк, заяц и лис. Волк сказал: "Мы все трое лжецы". Заяц ответил: "Лжец из нас троих только один!" Кем могут быть волк, заяц и лис?

3. В поход пошли 101 человек - рыцари и лжецы. Каждый из них утверждает, что, кроме него, большинство остальных - лжецы. Сколько лжецов и рыцарей в этой задаче?

4. 123 эльфа стоят по кругу. Каждый из них утверждает, что среди его соседей честных эльфов нечётное число. Сколько честных эльфов может быть в задаче?

5. Медведь, выйдя из берлоги, увидел, как волк гонится за убегающим зайцем. Медведь спросил у них: «Кто-нибудь из вас рыцарь?» Заяц ответил первым, и медведь сразу же всё понял. Рыцарем или лжецом был заяц? А волк?

6. По кругу расположились шестьдесят эльфов, каждый из которых либо всегда говорит правду, либо всегда говорит неправду. Каждый из эльфов сказал: «Ближайший сосед слева от меня и двое ближайших справа – лжецы.» Сколько лжецов в этой задаче?

7. В лесу живут эльфы, которые всегда говорят правду, и эльфы, которые всегда говорят неправду. Игорь Петрович встретил троих эльфов и спросил у каждого: «Сколько говорящих правду эльфов среди твоих спутников?» Один эльф ответил «Ни одного», другой - «Один». Что ответил третий эльф?

8. Среди 100 человек имеются рыцари и лжецы. У каждого из них есть одно любимое время года. Каждому было задано 4 вопроса:
Ваше любимое время года весна?
Ваше любимое время года лето?
Ваше любимое время года осень?
Ваше любимое время года зима?
На первые два вопроса ответили "да" по 25 человек, на третий — 45, а на последний — 55. Как много лжецов в задаче?

9. Докажите, что m(m+1), где m натуральное число, не может быть степенью никакого целого числа. (*намёк: разность между двумя последовательными степенями больше 1)