Задания репетитора. В 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы XLII

1. В заколдованном замке имеется некий лабиринт. Лиса Алиса и Александр Николаевич попадают в этот лабиринт в одном и том же месте. После этого лиса Алиса идёт так, чтобы всё время держаться за стену левой лапкой, а Александр Николаевич идёт так, чтобы всё время держаться за стену правой рукой. Могли бы они заблудиться в этом лабиринте в заколдованном замке, то есть никогда не выйти оттуда?

2. Та же задача. Может ли получиться, что Александр Николаевич вернётся туда, где он вошёл в лабиринт, а лиса Алиса обнаружит иной выход и выйдет там?

3. В старой хижине нашли четное число. Енот верно заметил, что число не делится на 4. Лев попросил барсука посчитать, сколько у этого числа четных делителей. Но барсук от страха перепутал и сказал, сколько у данного числа нечётных делителей. Верный ли он ответ дал льву?

4. Сумма самых первых четырёх натуральных чисел не делится на 4. Сумма четырёх последовательных натуральных чисел, начиная с 2, тоже не делится на 4. Верно ли, что сумма любых четырёх последовательных натуральных чисел не делится на 4?

5. Доказать, что у любого выпуклого 5-угольника имеются 3 диагонали, из которых может получиться треугольник.

6. Какова последняя цифра произведения а) ста четвёрок; б) 2025-ти четвёрок?

7. Какую последнюю цифру имеет произведение сотни семёрок?

8. Число N делится на 27, и сумма его цифр делится на 27. Также, N меньше тысячи. Приведите пример такого числа.

9. Число M делится на 27, но сумма его цифр не делится на 27. Также, M меньше тысячи. Приведите пример такого числа.