Задания репетитора. В 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы XLIII

1. В области 11 посёлков. Какое наибольшее количеств дорог между ними можно построить, чтобы из любого посёлка нельзя было попасть в любой? Нельзя соединять два посёлка более, чем одной дорогой.

2. У лисы Алисы был странный куб, все грани которого окрашены в разные цвета, отличные друг от друга. Алиса начала переворачивать свой куб через рёбра: влево, затем вперёд, потом вправо, после чего назад, и далее повторяя эту же схему. Через сколько таких переворачиваний через ребро куб лисы Алисы вернулся в первоначальное положение?

3. Числа x и y делятся на 7 без остатка, а v и w - нет. Делится ли на 7 x-y? Можно ли утверждать, что x-v не делится на 7? Можно ли утверждать, что v-w не делится на 7?

4. В доме, где живут пёс Барбос и мышь Мария, по 4 квартиры на любом этаже, и так в каждом подъезде. На 3-м этаже в 169 квартире живёт пёс Барбос, а в 83 квартире на 5 этаже живёт мышь Мария. Вопрос: сколько этажей в доме Марии и Барбоса?

5. N граней кубика зелёного цвета, а остальные - голубенькие. Сколько всего существует различных таких кубиков? Решите задачу для случаев, когда N равно 1, 2 и 3.

6. Сколько всего различных кубиков, если каждая их грань либо зелёная, либо голубенькая (оба цвета не обязательно должны быть)?

7. Первая группа мышек состояла только из сереньких мышек, а вторая - только из беленьких. У Игоря Петровича было некоторое количество крупинок пшена, и он решил покормить мышек. Он увидел, что может разделить крупинки поровну как между серенькими, так и между беленькими мышками. Но он дал крупинки и сереньким, и беленьким - каждой мышке по 3 крупинки. После этого крупинок у Игоря Петровича не осталось. Сколько крупинок могло достаться каждой серенькой мышке, если бы Игорь Петрович разделил бы крупинки поровну только между всеми серенькими мышками? Вариантов ответа может быть несколько, приведите все.

8. Мадам Зоя решила украсить свой замок цепочкой из 50 светящихся сфер зелёного и малинового свечения. Рядом с каждой малиновой сферой непременно должна быть сфера зелёного свечения. Каково наибольшее возможное число сфер малинового свечения?

9. В автопробеге колонна машин длиной 1/2 километра несётся по прямой трассе со скоростью 200 километров в час. Навстречу едет трактор, его скорость в 4 раза меньше. Встретившись с трактором, каждая машина мгновенно разворачивается и несётся с прежней скоростью в противоположном направлении. И вот, все машины развернулись. Какова теперь длина колонны?