Задания репетитора. Во Вторую, 179, 57 школы. 5, 6, 7 классы XLVI
1. Однажды Александр Николаевич, возвращаясь домой, увидел, что на заборе
какой-то хулиган нарисовал одно число. Озлобился Александр Николаевич, но
достал свой блокнот и разелил это число на 7, 8 и 9, а затем вычислил
сумму полученных при делении остатков. Он записал полученную сумму в
блокнот, и это оказалось число 21. Необходимо доказать, что число, которе
нарисовал хулиган, было точно больше, чем 500.
2. При входе в магазин охранник повесил две таблички. Он просил каждого
посетителя магазина, заходя в магазин, писать на первой табличке, а,
выходя из магазина, зписывать на второй, сколько посетителей он видит
внутри магазина. Доказать, что за один день на обоих табличках будут
одни и те же числа. Конечно, порядок их следования может быть иным.
3. Игорь Петрович разделил один треугольник на 4 треугольника. Периметр
верхнего оказался 19, периметр левого нижнего - 27, периметр правого
нижнего - 29, а периметр центрального - 25. А каков периметр исходного
треугольника?
4. Десять хитрых лисов играют в прятки. Получилось так, что каждый из лисов
был в роли водящего и он, будучи водящим, обнаружил не менее пяти разных лисов.
Необходимо доказать, что хотя бы два хитрых лиса из десяти обнаружили один
другого.
5. На большом листе бумаги Игорь Петрович отметил 100 различных точек.
Лиса Алиса и кот Базилио по очереди пытаются соединять эти точки
непересекающимися линиями. Начинает Базилио. Выигрывает в этой игре тот,
после чьей линии получится замкнутый путь, то есть этот замкнутый путь будет
проходить через некоторое (любое) количество точек. Соединять две точки
более, чем одной линией, в игре запрещается. Доказать, что лиса Алиса
в любом случае имеет счастливую возможность победить в данной игре.
6. Однажды Александр Николаевич, возвращаясь домой, увидел, что на заборе
какой-то хулиган написал жирным маркером некоторое число. Озлобился
Александр Николаевич, но достал свой блокнот и, пытаясь разделить это число
обнаружил, что на 9 оно не делится без остатка. Доказать, что при любой
перестановке цифр этого числа, полученное число не сможет стать в 3 раза
больше исходного.
7. В очередной раз вернувшись домой, Александр Николаевич обнаружил у себя
на столе два конверта. В первом конверте лежали правильные 6-угольники,
а во втором - правильные 7-уголники. Число сторон всех многоугольников из
первого конверта в точности равно числу сторон всех многоугольников из
второго. Если один из многоугольников переложить из первого конверта
во второй, то Александр Николаевич увидит, что в обоих конвертах
многоугольников поровну. Сколько многоугольников было в первом конверте?
8. Александр Николаевич нашёл где-то в лесу игральный кубик, на каждой
грани которого были нанесены точки, от 1 до 6, так что числа точек на всех
гранях различны. Александр Николаевич обнаружил ещё несколько таких же кубиков,
бросил каждый из них, и в сумме у него выпало 7 очков. Но тут пришёл хитрый
лис, бросил те же самые кубики, и набрал в сумме 25 очков! Сколько всего было
кубиков в этой задаче? Единственно ли решение?
9. Александр Николаевич решил отстирать брюки. С этой целью он купил мыло,
однако после двадцати шести стирок кусок мыла уменьшился и по длине,
и по ширине, и по высоте ровно в 3 раза. Хватит ли оставшегося кусочка
ещё на одну такую же стирку?
|
|