Задания репетитора. Во Вторую, 179, 57 школы. 5, 6, 7 классы XLVII

1. Имеется набор натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, ..., 50 - всего 50 чисел. Помогите лисе Алисе разбить все эти числа на пары так, чтобы сумма чисел в каждой из таких пар являлась простым числом. Получится ли вообще так сделать?

2. В портфеле у Александра Николаевича 3 одинаковых конверта. В каждом конверте - по 2 бумажки. В первом конверте на обеих бумажках нарисована цифра 1, во втором - цифра 2, а в третьем конверте на одной бумажке 1, а на второй 2. А на самих конвертах нарисованы предполагаемые суммы чисел на соответствующих бумажках: 4, 2 и 3, только все три утверждения, что это реальные суммы, ложны. Каким образом, вынув только одну бумажку, Александр Николаевич сумеет оределить, чему равны на самом деле истинные значения суммы для каждого конверта?

3. Каждый из шести ужасных котов враждует ровно с двумя другими. Если враждующих котов посадить рядом, они вцепятся один в другого, и начнётся большая драка. Полетят пух и перья. Доказть, что всех этих котов можно рассадить по кругу так, чтобы воцарилось спокойствие.

4. Однажды Александр Николаевич, возвращаясь домой, увидел, что на заборе какой-то хулиган нарисовал число 125. Озлобился Александр Николаевич, но достал свой блокнот и переписал это число туда. Как много разных 3-значных чисел может приписать справа к этому числу Александр Николаевич, чтобы полученное в результате число делилось без остатка и на 7, и на 8, и на 9?

5. В большом сундуке Александра Николаевича 5 больших камней. Любые три из этих камней в сумме весят больше, чем 30 кг, но меньше, чем 60 кг. Доказать, что один из этих камней весит больше 10 кг, но меньше, чем 20 кг.

6. У нескольких ворон есть яркие цветные фишки, всего 128 фишек на всех. Они решили сыграть в такую игру. Если у какой-то вороны не менее половины всех фишек, то она отдаёт каждой вороне столько фишек, сколько у неё уже есть. А если у двух ворон окажется по 64 фишки, то бросают жребий, и та ворона, которой выпал жребий, отдаёт фишки по тому же правилу. И так было проделано 7 раз. Надо доказать, что в итоге все фишки достались одной вороне.

7. Школьники из 5 разных городов собрались на большой математической олимпиаде. Их рассадили за большой кругдый стол. Неизвестно, сколько школьников были от каждого города. Какие бы 2 города ни взять, всегда можно найти школьников из этих городов, кто сидит рядом. Какое самое малое количество собравшихся школьников возможно?

8. Красная шапочка отправилась к бабушке отнести пирожки. В полдень она уже прошла один километр и встретила волка, который решил помочь, и Красная шапочка верхом на волке преодолела часть пути и в два часа дня добралась до бабушки, пройдя пешком ещё один километр от того места, где её высадил волк. Волк вёз Красную шапочку со скоростью, вдвое большей, чем она может идти пешком. Сколько времени потребуется Красной шапочке на обратный путь, если обратно ей предстоит пройти пешком?

9. Можно ли указать число, которое получится уменьшить в 3 раза, просто переставив в нём цифры? Даже ноль в этой задаче можно ставить в начало.