Задания репетитора. В 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы XLVIII

1. Из четырёх высказываний: число N делится без остатка на 12, на 24, на 4, на 2: одно ложное, а остальные три истинные. Какое именно из них ложное?

2. Лиса Алиса, кот Базилио и Карабас Барабас собрали с волшебного дерева 48 золотых монет. Эти монеты они поделили между собой. После этого лиса половину своих монет разделила поровну между котом и Карабасом; затем кот половину его монет разделил пополам между лисой и Карабасом; и в самом конце Карабас поступил аналогичным образом. В результате у всех троих стало поровну золотых монет. Как они поделили монеты первоначально?

3. В первом круг стоит 16 мышей, во втором - 17 мышей. В каждом круге делают так: первая мышь остаётся, вторая из круга уходит, третья остаётся, следующая уходит, и так далее. Мышей в круге становится всё меньше, и вот, наконец, и в том, и в другом круге остаётся по одной мыши. На каких местах эти две оставшиеся мыши стояли изначально?

4. Та же задача, но только в первом круге 34 серых мышей, а во втором - 1000.

5. На большом белом листе бумаги Игоря Петровича 15 различных точек. Каждая соединена непрерывными линиями не менее, чем с 7 другими. Доказать, что, дажеесли точки А и Б не соединены линией непосредственно, то по непрерывной цепочке линий всё равно можно перейти из А в Б.

6. Однажды Александр Николаевич, возвращаясь домой, увидел, что на заборе какой-то хулиган нарисовал какое-то неприлично большое число. Озлобился Александр Николаевич, но достал свой математический блокнот и переписал это число туда. После этого он как-то изловчился, переставил в этом числе цифры, и в итоге получилось число, которое было в 3 раза меньше числа, что нарисовал хулиган. Помогите Александру Николаевичу доказать, что первоначальное число делится на 27 без остатка.

7. На большом листе бумаги Игоря Петровича отмечено 9 различных точек с соответствующими номерами 1, 2, 3, 4, 5, .., 9. Две точки соединены непрерывной линией в том и только в том случае, если число, составленное из номеров этих точек, делится на 3 без остатка. Возможно ли перейти из точки 1 в точку 9, если двигаться искллючительно по непрерывной цепочке линий?

8. Рассмотрим 179 звёздочек, каждая из которых устроена так: их точки выходят в разные стороны 3 различных отрезка. Можно ли попарно соединить нитями свободные концы отрезков так, чтобы несоединённых отрезков не осталось?

9. Та же математическая задача, но звёздочек 180.