Задания подготовки во Вторую, 179, 57 школы. 5, 6, 7 классы XXXIV
1. На длинной полке в один ряд стоят 15 ящичков с разноцветными мелками.
Известно, что в любых четырех ящичках подряд в сумме 30 мелков. Сколько
мелков в четвертом ящичке, если всего во всех ящичках сто мелков?
2. Среди трёх внешне одинаковых монет одна поддельная. Поддельная монета
легче настоящей. Имеется двое весов. Одни весы исправные, вторые сломанные.
Сломанные весы могут показать как правильный, так и неправильный результат.
Какие весы сломаны, неизвестно. Каким образом за два взвешивания
найти хотя бы одну настоящую монету?
3. Ворона разрезала квадрат 4х4 на полоски 1х4 и уголки из трех клеток.
Затем Лиса заменила одну из полосок 1х4 на квадрат 2х2. Всегда
ли Ворона сможет собрать квадрат 4х4 из нового набора фигурок?
Уголки можно поворачивать.
4. Натуральные числа от 1 до 11 расставили по кругу в некотором порядке.
Доказать, что в этом случае существуют три соседних числа, сумма которых
не меньше, чем 19.
5. В записи числа 50 цифр. Это число умножили на 32. В результате получилось
число, у которого в записи 51 цифра. Затем это число ещё раз умножили на 32
Могло ли в итоге получиться число, у которого в записи ровно 52 цифры?
6. В ящике 2022 конфеты. Саша и Гриша по очереди берут конфеты из
ящика. Саша за один ход может взять 1 или 4 конфеты, а Гриша – 1 или 3
конфеты. Начинает Саша, а проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Кто может гарантированно обеспечить себе победу?
7. На катере сорок человек, среди которых могут быть только рыцари и лжецы.
Считается, что рыцарь всегда говорит правду, а лжец всегда лжёт.
Каждый час один из них прыгает в воду и уплывает со словами:
«После того, как я прыгну в воду и уплыву, на катере останется рыцарей
и лжецов поровну». Через 40 часов все уплыли. Сколько лжецов было на катере
первоначально?
8. Паук, Жук и Муравей находились в одной вершине многоугольника, у которого
все стороны равны. Они одновременно отправились на прогулку по периметру
многоугольника. Однако Паук пошел в направлении, противоположном Жуку и
Муравью. В какой-то момент Паук встретил Жука в некоторой вершине.
Пройдя ещё 10 сторон многоугольника, он встретил и Муравья. Скорость Паука
в 2 раза больше скорости Жука; скорость Жука в 2 раза больше скорости
Муравья. Сколько вершин в данном правильном многоугольнике?
9. Девять мышей провели шахматный турнир в один круг: каждая мышь
сыграла с каждой ровно по одному разу, без ничьих. Вышло так, что среди
любых трёх мышей всегда была та, которая выиграла у двух остальных.
Надо доказать, что есть такая мышь, которая выиграла все
партии в этом турнире. И можно ли это доказать?
|
|
