Задания репетитора. В 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы XXXIX

1. Два математических робота - робот Икс и робот Игрек - выкладывают каждый в ряд по 10 фишек чёрного или белого цвета. После этого они по очереди берут по одной следующей фишке из своего ряда и выкладывают их в круг, одну за другой. Робот Икс начинает. Чем меньше черные и белые фишки будут находиься рядом, тем лучше. Может ли робот Икс гарантированно сделать так, чтобы количество таких соседствующих фишек разного цвета было: 1) не более 10; 2) не более 9?

2. Белочка пееложила один орех из одной кучки орехов в другую. При этом средняя масса орешков и в одной, и в другой кучке: а) уменьшилась; б) увеличилась. Нет ли здесь противоречий?

3. Решить уравнение 1/(k+1/(m+1/n))=5/17 в натуральных числах.

4. Игорь Петрович загадал некоторое натуральное число N. N и 179 взаимно простые. Игорь Петрович каждое из чисел 0, 1N, 2N, 3N, ..., 178N разделил с остатком на N и выписал все полученные остатки. Какие числа получились в результате?

5. На какие цифры могут заканчиваться все возможные квадраты натуральных чисел?

6. Чему равна разность между квадратом натурального числа и квадратом числа, на единицу меньшего?

7. Одну сторну квадрата Игорь Петрович увеличил на 1, а другую он уменьшил на 1. Что меньше: площадь исходной или площадь полученной Игорем Петровичем фигуры?

8. Две обезьянки - Кузи и Ози - направились в сторону реки. Каждый шаг Кузи на 10% длиннее, чем шаг Ози, но зато Кузи делает за 10 минут на 10% шагов меньше, чем Ози. Кто может добраться до реки быстрее?

9. На кждой клетке квадратного листа 7 на 7 лежало по одной крупинке пшена. 179-рукий математический робот Зэт взял и переместил каждую крупинку в клетку, соседнюю по диагонали. Могло ли после этого: 1) ровно 7; 2) ровно 6 клеток оказаться пустыми?