Задания репетитора. Во Вторую, 179, 57 школы. 5, 6, 7 классы XXXV
1. Имеются 7 одинаковых на вид обёрток от конфет. Одна из них волшебная.
Также имеется магический прибор, куда можно поместить 3 обёртки от конфет,
после чего прибор укажет на волшебную обёртку, если она там есть,
либо на произвольную, если её нет. Можно ли всего за три проверки найти
волшебную обёртку от конфет? А она исполнит любое желание!
2. Александр Николаевич хочет построить 6 новых домов и соединить каждые
два из них дорогой. Надо нарисовать такую схему расположения домов и дорог,
чтобы на этой схеме было ровно три перекрёстка, и чтобы на каждом из
перекрёстков пересекалось ровно две дороги. Дороги жопустимы любой формы.
3. Жука уравновесили стрекоза и две бабочки, а жука с бабочкой
уравновесили две стрекозы. Сколько бабочек уравновесят жука? Считается,
что все бабочки одинаковы, все жуки одинаковы, все стрекозы одинаковы.
4. Тридцать три лисы на пяти автобусах приехали в город, а уехали из города на
шести. Надо доказать, если получится, что какие-то две лисы и туда,
и обратно ехали вместе.
5. Всего было 30 лис, каждая из которых либо рыцарь, либо лжец.
Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Их
рассадили за столики, по две лисы за каждый столик. Затем каждая
лиса сказала, что её соседка по столику - лжец. После этого лис пересадили.
Могла ли в конце каждая лиса сказать, что её соседка по столику -
рыцарь?
6. Дан прямоугольник 10x19. В каждую его клетку записали одно из чисел:
0 или 1. Затем подсчитали суммы чисел в каждом столбце и в каждой строке.
Какое самое большее количество различных сумм могло в результате получиться?
7. Саша выписывает четырехзначное число. Затем Маша дописывает 4 цифры слева
или 4 цифры справа. В итоге получается неке восьмизначное число.
Маша побеждает, если итоговое число будет
квадратом целого числа. Может ли Саша ей помешать?
8. На окружности 49 точек. Они пронумерованных в некотором
порядке нечётными числами 3, 5, 7, 9, 11, …, 99. Если один такой номер
делится на другой без остатка, между точками с этими номерами проводится
отрезок. Надо доказать (если возможно), что всегда можно найти два
отрезка, которые будут пересекаться внутри окружности.
9. Что больше: ДВА*ШЕСТЬ или ДВАДЦАТЬ? Одинаковым буквам соответствуют
одинаковые цифры, а разным – разные цифры. Знак * означает умножение.
10. Между двумя базами A и B регулярно летают самолёты с одинаковой
постоянной скоростью. Самолёт, вылетевший из A в полночь, и самолёт,
вылетевший из B в 3 часа утра, встретились на расстоянии 5000 км от A.
Самолёт, вылетевший из A в два часа утра, и самолёт, вылетевший из B в 23:00,
встретились на расстоянии 3000 км от A. На каком расстоянии
от A встретятся самолёты, вылетевшие из A и из B одновременно?
|
|
