Задания репетитора. В 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы XXXVI

1. Толик придумал натуральное число и возвёл его в квадрат. А Костик придумал два соседних натуральных числа и нашел их произведение. Могут ли их результаты совпадать?

2. Сорока, ворона и лиса играли в одну игру. В каждой партии могут играть двое. Ничьих не бывает. Тот, кто не играл в данной партии, в следующей играл с победителем. Сорока сыграла таким образом 10 партий, ворона сыграла 21 партию. Сколько партий сыграла лиса?

3. Выпишите 10 отличных друг от друга натуральных чисел, чтобы произведение любых двух из них было квадратом натурального числа, а сами они не являлись квадратами натуральных чисел.

4. Голубые, белые и зелёные фишки расположены по кругу. Сеседи любой голубой фищки белые, а соседи любой белой - голубая и зелёная. Но соседи любой зелёной - зелёная и белая фишки. Белых фишек двенадцать. Сколько зелёных и голубых?

5. Пусть словами зашифрованы числа, так что каждая одна буква означает одну цифру. Разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым - одинаковые. Надо доказать, что поизведение чисел ДВА и ШЕСТЬ меньше, чем ДВАДЦАТЬ.

6. 17 литров воды замёрзли и превратились в лёд. При этом объём уменьшился на 1/9 часть. На какую часть изменится объём льда, когда он растает и обратно станет водой?

7. Несколько лисят рассказывали зайчатам весёлые истории. Истории от разных лисят могли и совпадать. Всего было рассказано 179 разных весёлых историй, причём каждый лисёнок рассказал по 100 историй, не повторяясь. Пусть один раз было рассказано М историй, а N историй были рассказаны трижды. Найдите (M-N).

8. Рассмотрим двадцать две суммы всех натуральных чисел: от 1 до 2000; от 1 до 2001; от 1 до 2002; ...; от 1 до 2020; от 1 до 2021. Какие их них чётные и какие нечётные?

9. Волк запер двух зайцев в двух разных комнатах в разных домах. Он дал каждому зайцу по монетке. Волк сказал зайцам: "Вы бросаете монетки один раз. Если хоть один их вас угадает, орёл или решка выпало у другого, то я всех вас отпускаю. Ели нет - я вас обоих съем." Но у зайцев была возможность предварительно договориться, что сказать волку, чтобы тот их отпустил. Как быть зайцам?