Задания подготовки в 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы XV

1. Задача с кипарисами. По прямой высадили 12 кипарисов. Расстояния между соседними кипарисами одинаковы. Расстояние между первым и последним кипарисами Y метров. Z метров - рассттояние между первым и последним кипарисами из 121 киприсов, высаженных таким же образом. Найдите отношение Z к X. Получите формулу для Z/X для общего случая, когда кипарисов N и N в квадрате соответственно. Докажите.

2. Дана последовательность целых чисел 1;2;3;4;5;...;99;100. X - сумма всех чётных чисел этой последовательности, Z - сумма её нечётных чисел. Что больше; X или Z, и на сколько больше?

3. В пруду 777 карасей. Коты Вася и Кэт за один сэт могут выловить либо 77, либо 7 карасей каждый. Кот Вася начинает первым. Дальше - строго по очереди. Проигравшим считается кот, который не может сделать ход. Назовите имя проигравшего. Докажите.

4. Медведь Миш утверждает, что он доказал теорему, согласно которой из квадрата 20 на 20 сантиметров невозможно вырезать круги, сумма диаметров которых больше, чем 20 метров. Прав ли Миш? Приведите доказательство.

5. Жадные друзья. Жили были три друга. У первого было семь пачек печенья, у второго - пять. У третьего не было печенья. Друзья разделили печенье поровну на троих. Когда всё печенье было съедено, первые двое сказали, что третий должен за печенье заплатить. Но у него было всего 12 долларов, которые он и отдал друзьям. Как им следует разделить деньги между собой?

6. У девочки Тани были разноцветные стеклянные шарики, всего не более ста шариков. Таня разложила шарики по коробочкам: первый раз по два шарика в одну коробочку, второй раз - по три, третий - по четыре, и, наконец, по пять шариков. Но каждый раз один шарик оставался у Тани. Сколько же шариков было у Тани?

7. Игра 1. На доске выписаны 15 единиц и 10 двоек. За один ход можно стереть либо любое количество единиц, либо любое количество двоек. Проигрывает тот, кому больше нечего стирать. Играют двое. Первым или вторым надо начать, чтобы гарантированно победить?

8. Игра 2. В стеклянной коробке 10 хрустальных шариков, столько же хрустальных кубиков и столько же хрустальных пирамидок. За один ход допустимо вынуть из коробки либо любое количество шариков, либо любое количество кубиков, либо любое количество пирамидок. Играют двое. Проиграет тот, кому больше нечего доставать. Первым или вторым следует начинать игру, чтобы точно победить?

9. Игра 3. В коробке белые, зелёные, красные и жёлтые кубики - по 10 штук каждого цвета. За один ход допустимо достать из коробки любое количество кубиков, но только одного цвета. Игроков двое. Проигрывает тот, кому доставать нечего. Каким номером следует начинать игру, чтобы победить с гарантией?