Задания подготовки в 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы XVI

1. Математический робот может перемещаться исключительно вдоль прямой на 6 или на 8 отрезков равной длины. Может ли робот оказаться в точке, удалённой от первоначальной на расстояние 4; 7 или полутора таких отрезков?

2. Имеются четыре частицы. Среди них нет трех с одинаковым цветом, трёх с одинаковым вкусом, и нет трёх с одинаковым ароматом. Между тем, у любых двух частиц совпадают или вкус, или цвет, или аромат. Не противоречиво ли данное условие?

3. Деревянные ящички выставлены вплотную один к другому на плоской поверхности, образуя форму квадрата, если смотреть сверху. По каждой стороне квадрата - 8 ящичков. Ящички имеют форму куба. В одном из них находится бриллиант величиной с куриное яйцо. Во всех остальных - записки, на которых указано, за какое минимальное количество шагов можно добраться из данного ящичка до ящичка с бриллиантом. Здесь шаг - это переход в соседнюю по стенке, но не по диагонали, коробочку. Какое самое малое количество коробочек нужно открыть, чтобы с гарантией достать бриллиант?

4. Имеются семь металлических шариков, и любые два из них можно соединить светящейся нитью. Данную операцию можно проделать многократно. Возможно ли, чтобы из каждого шарика выходило по три светящейся нити?

5. В задаче рассматриваются фигура P, имеющая форму полукруга, и некоторая фигура F. Фигура F не может накрыть P. Однако две фигуры F можно накрыть круг, составленный из двух P. Проверьте, нет ли здесь противоречия; докажите.

6. На шахматной доске Мурада 8 на 8 в одной угловой клетке лежит золотая монета. Игрок может переместить монету на 1 клетку по горизонтали или вертикали к противоположному углу. Кто первым дойдёт до того угла, тот и выииграет. Сколько ходов может продолжаться игра? Может ли друг Мурада Коля победить, если он начинает первым? Кто из них двоих может быть уверен в победе, если добавить в игру третий допустимый ход - переместить монету на одну клетку по диагонали в направлении цели? Коля или Мурад?

7. На планете Дельта-Центавра живут сто динозавров. Однажды на этой планете появился один громогласный птеродактиль. Каждые 20 лет, в первом десятилетии, этот хищный птеродактиль съедает одного динозавра, но в течение следующих 10 лет количество и динозавров, и громогласных птеродактилей, увеличивается вдвое. Верно ли, что, рано или поздно, но все динозавры этой планеты будут съедены? И если верно, то когда это случится? И динозавры, и громогласные птеродактили на планете Дельта-Центавра бессмертны, и потому погубить динозавра может лишь громогласный птеродактиль.

8. Имеется три высказывания, среди которых лишь одно истинное, остальные - ложные: «У знаменитого филателиста Игоря Петровича больше 9999 марок»; «У знаменитого филателиста Игоря Петровича меньше 9999 марок»; «У знаменитого филателиста Игоря Петровича имеется хотя бы одна марка» Как ммного марок может быть у знаменитого филателиста Игоря Петровича?

9. В зале ресторана по кругу расположили: а) 3; б) 8; в) 9 аквариумов. В одном из них 6 рыб. Остальные пусты. Можно ли добавить рыб в пустые аквариумы так, чтобы количество рыб в любых двух соседних аквариумах отличалось ровно на 1?