Задания подготовки в 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы XVIII

1. Сколько всего способов, чтобы на строке из десяти клеток листа тетради нарисовать два знака - а) один плюс и один минус; б) два плюса? В одной клетке можеет быть не более одного знака.

2. Количество кошек на умирающей планете Дзэт возрастало вдвое за каждый месяц. Когда кошек слишком много, планета погибает. Две кошки убьют планету за 30 месяцев. За сколько месяцев уничтожат планету 4 кошки?

3. Сколько существует способов, чтобы раскрасить 3; 5; 7 расположенных в ряд клеток тетради двумя разными цветами? Каждая клетка красится одним цветом. Сколько способов, если соседние клетки разных цветов?

4. Борис имеет двадцать один гранёный стакан. Треть стаканов заполнены полностю, треть - наполовину, остальные пусты. Помогите Борису разделить их на три группы, чтобы в каждой группе было одинаковое количчество стаканов и одинаковое количество жидкоссти.

5. Дано: одиннадцать целых чисел. Доказать: существуют два числа среди них, таких, что их разность без остатка делится на десять.

6. Попугай и ворона играют в простую игру. На лужайке две золотые монеты, обе - орлы. Попугай улетает, и ворона несколько раз переворачивает монеты, при этом каждый раз каркая по одному разу. Затем ворона садится на одну из монет, закрывая её, попугай возвращаеся и, глядя на одну монету, оределяет, как лежит золотая монета под вороной (орёл или решка). Почему у попугая получается каждый раз правильно угадать?

7. 29 процентов поверхности планеты Альфа-К твёрдая, остальная её часть жидкая. Можно ли построить прямолинейный туннель таким образом, чтобы он проходил через центр планеты, и с обеих сторон выходил на жидкую часть поверхности?

8. Нарисуйте таблицу 4 на 4 и в её клеточки поставьте семь точек таким образом, что, какие бы два столбца и две строки мы одновременно ни вычеркнули, всегда останется нетронутой хотя бы одна клеточка с точкой.

9. Пятнадцать хомячков имеют 100 зёрнышек. Возможно ли, что у каждого хомячка число зёрнышек отлично от всех других?