Задания подготовки в 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы XXI

1. Механический пёс запрограммирован на перемещения по гиганской клетчатой площадке между соседними клетками по стороне. Площадка 8 на 8 клеток. На двух произвольных клетках плщадки цепями привязаны две кошки, так что покинуть свои клетки они не могут. Хватит ли механическому псу 13 перемещений, чтобы, после того как он убьёт одну кошку, добраться до ворой и расправиться с ней? А 14 перемещений?

2. В тетради в клетку выделили поле 8 на 8 клеточек, в каждой из которых нарисовали по одному числу. Все числа были в интервале от 1 до 64, целые и без повторов. Доказать, что существуют 2 соседние по стороне клеточки, для которых разность соответствующих чисел не менее пяти.

3. Агенты получили приказ перевезти через границу портфели с ценными материалами. Портфелей надо перевезти как можно больше, но на таможне не пропустят агента с более чем двумя портфелями, а также не пропустят агента, вес ручной клади которого 100 и более килограммов. Вес каждого портфеля меньше 100 килограммов, каждый портфель весит целое число киилограммов, и нет одинаковых по весу портфелей. Агенты должны взять точно по два портфеля, не зная, сколько они весят. Поэтму портфели отсортировали так, чтобы среди них не было двух, дающих в сумме 100 или более килограмм. Сколько нужно агентоа, чтобы переправить как можно больше материалов? Количество материалов в каждом портфеле одинаково. Решить эту задачу также для случая, если вес каждого портфеля определяется в килограммах двузначным числом.

4. Две обезьянки Ози и Кузи играют. У них две бумажки в клеточку: в одной точно 1 на 10 клеточек, а во второй 8 на 6 клеточек. Ози начинает. Сначала берут первую бумажку. За один ход можно разрезать любой из кусочков на два кусочка строго по прямой линии сетки. Побеждает обезьянка, сделавшая последний разрез. После этого берут вторую бумажку, и начинает проигравшая. Сколько ходов продолжится вся игра? Кто выиграет - Ози или Кузи?

5. Джон и Пьер должны пробурить двумя бурильными машинами три скважины глубиной 400, 200 и 300 метров. Джон и Пьер начинают одновременно. Скорости бурения одинаковы. Закончиший немедленно переходит к следующей скважине. Оплата сдельная, заказов мало, заработать хочется побольше. Какую скважину выгоднее бурить первой? Решите также эту задачу для случая четырёх скважин, глубина четвёртой 450 метров.

6. Обезьяна Озя сидит на беерегу реки с корзиной, в которой 450 шишек. Она равномерно достаёт их из корзины и кидает в реку, так что каждые 20 секунд в реку попаадают 10 шишек. За какое время обеззьяна выбросит в реку сто шишек? Четыреста шишек? Вторая обезьяна плывёт вверх по реке на катере, собсственная скорость которого 80 километров в час. Скорость течения 4 километра в час. Через какие интервалы времени шишки будут проплывать мимо второй обезьяны?

7. Трём обезьянам необходимо попасть из А в Б не более чем за три часа. Между А и Б шестьдесят километров. Все трое могут идти лишь со скоростю 5 километров в час, но в пункте А они обнаружили автомобиль, скороссть которого пятьдесят километров в час. Но на автоммобиле могут ехать не более двух обезьян. Смогут ли они попасть в Б вовремя?

8. На Луне девять кратеров, в которых расположены по одной лунной станции. Расстояния между всеми кратерами различны. Космонавты отправились из каждого кратера к ближайшему. Существует ли кратер, куда направились два космонавта? Сужествуют ли два таких кратера А и Б, что их космонавты просто переходят из А в Б и наоборот?

9. В ряд одна за другой выложены семь крупинок пшена. Две мыши Мася и Муся играют, так что за один ход мышь может съесть по своему выбору одну или две соседние крупинки. Соседними считаются лишь те, которые были таковыми изначально. Мася ходит первой. Выигрывает мышь, съевшая последнюю крупинку. Кто из них может гарантированно победить? Затем рассмотрите задачу, если крупинок всего восемь.