Задания подготовки в 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы XXIII

1. На одной из планет системы звезды Альфа-Омега обнаружили необычных змей: длина каждой змеи ровно 10 метров, и если такую змею разрубить в любом месте на 2 части, то обе части немедленно начнут расти со скоростью 10 метров в месяц каждая. Когда любая часть змеи вырастет до 10 метров, она превратится в настоящую змею, и рост прекратится. Если разрубить змею, не достигшую 10 метров, она погибнет. Можно ли из одной змеи получить десять 10-метровых змей раньше, чем через месяц?

2. Охотники решили начать отстреливать волков в заповеднике, но возмутилась общественность. Тогда охотники пообещали, что убьют "совсем немного" серых волков. Серых волков в заповеднике 99 процентов, и охотники пообещали, что по окончании охоты серые волки будут составлять 98 процентов всех волков заповедника. Какую часть волков в этом случае убьют охотники?

3. В лесах Бурзундии учёные обнаружили таинственного зверька. Если посадить его на клетчатую электронную доску и поставить условие, что за один ход зверёк может переместиться на любую клетку доски, но только в той же строке или том же столбце, то либо зверек поменяет свой цвет на цвет клетки, либо клетка сама примет цвет зверька. Зелёный зверёк оказался на красной клетке. Может ли доска раскраситься в шахматном порядке? Решите эту же задачу для случая, когда зверёк может перемещаться лишь в клетку, соседнюю по стороне.

4. Морскойй бой. Какое самое малое количество выстрелов надо сделать, чтобы стопроцентно уничтожить судно размером 1 на 2 клетки? Полный размер боевого поля - 6 на 6 клеток. Решите также задачу для корабля 1 на 3 клетки.

5. Феррари и Тойота мчатся из X в Y с постоянными скоростями. В X обе машины находились одновременно. Диаметр колёс Феррари на десять процентов больше, чем у Тойоты, но каждое колесо Феррари делает на десять процентов оборотов в секунду меньше, чем колесо Тойоты. Какая из машин победит?

6. Угол между двумя плоскими зеркалами: а) 30; б) 20; в)50 градусов. Луч света входит в эту систему параллельно одной из зеркальных плоскостей. Можно ли доказать, что луч в конце концов выйдет из системы? Каково число отражений? Угол падения и угол отражения равны, а сумма углов треугольника известна.

7. Сказочные еноты Ашт, Ент и Тон затеяли игру. Каждый ход двое енотов бросают монету. Получивший орёл выигрывает, решку - проигрывает ход. Енот, еоторый не ходил на этот раз, в следующий раз ходит с победившим. Ашт ходил десять раз, Ент - двадцать один. Сколько раз ходил Тон?

8. Крис написал на бумаге одну из цифр: один, два или три. Бумагу он положил в конверт. Какой вопрос задать Крису, чтобы точно определить, что это за цифра? Крис всегда отвечает правдиво - "да" либо "нет", и промолчит, если ответа на вопрос он не знает.

9. Геометрическая фигура является пересечением выпуклого 4-угольника с треугольником. Каково число её сторон? Решите также задачу для случая, когда фигура получена как объединение, а не пересечение.