Задания подготовки в 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы XXVIII

1. Игорь Петрович запечатал в конверт бумажку, на которой изображено целое число от единицы до шестнадцати. Каким образом Василий Иванович, задав Игорю Петровичу не более четырёх вопросов, узнать, какое число в конверте? Допустимые ответы только правдивые: Да и Нет.

2. Возвращаемся к первой зааче. Решите её для случая, если, отвечая на вопросы Василия Ивановича, Игорь Петрович один раз может, по своему усмтрению, ответить неверно. Но может и каждый раз отвчать верно. Но здесь Василий Иванович может задать не больше, чем 7 вопросов.

3. На планете Сакуриана люди построили десять крупных научно-технических промышленных центров. Каждые полгода между некоторыми двумя центрами устанавливается двустороннее транспортное сообщение. За какое самое малое количество лет из каждого центра можно будет добраться до каждого? Пересадки допустимы.

4. Решите предыдущую задачу для случая односторонних сообщений.

5. На острове двенадцать попугаев, среди них тлько волнистые попугайчики, которые всегда лгут, и ара, которые всегда говорят правду. Один из попугаев утверждает, что на островк нет ара; второй - что на острове не более одного ара; третий - что ара на острове не больше, чем 2; и так далее; последний же попугай сказал, что на острове не больше, чем 11 ара. Как много ара на острове?

6. На одной из планет созвездия Скорпион на острове живут скорпион Скрокс и ещё пять скорпионов. Доказать, что среди них трое родственники Скрокса, либо трое скорпионов, не яявляющихся его родственниками.

7. Для предыдущей задачи, доказать, что на острове существуют трое взаимно дружественных или трое взаимно враждебных скорпионов.

8. На планете Сакуриана любые две базы (число которых неизвестно) соединены или скоростной трассой, или порталами. Доказать, что из каждой базы в каждую можно попасть, используя лишь один вид сообщения.

9. Рассмотрим множество всех 3-значных натуральных чисел, которые делятся на 3 без остатка. Игорь Петрович переписал все те из них, в которых цифры располагаются по возрастанию, а Василий Иванович - наоборот, по убыванию. У кого из них и на сколько чисел получилось больше?