Задания подготовки в 179, Вторую, 57 школы. 5, 6, 7 классы XXXIII
1. 10 монет по одному рублю каждая образуют равносторонний треугольник,
направленный вершиной вниз. Надо переложить три монеты таким образом,
чтобы получился равносторонний треугольник, направленный вершиной вверх.
2. В кинотеатре 7 рядов по 10 мест каждый. Пятьдесят мышат сходили в
кинотеатр 10 октября, а также на следующий день. Надо доказать, что
имеются двое мышат, которые и 10 октября, и 11 октября
сидели в одном ряду.
3. Каких 7-значных натуральных чисел больше: с произведением всех цифр
1024, или с произведением всех цифр 2048?
(Намёк. Цифры чисел — это 1, 2, 4 и 8, и иных нет. Каждому числу (abcdefg)
с произведением всех цифр 1024 поставим в соответствие число, в котором
каждая цифра заменена на число 8, делённое на эту цифру. Тогда получится
число с произведением 2048. То есть, поровну.)
4. 10 зайцев стоят друг за другом в ряд. Каждый следующий заяц выше
предыдущего. Добрый мышонок дал каждому зайцу по одной морковке.
После этого он дал каждому зайцу, начиная со второго, ещё столько морковок,
на сколько сантиметров этот заяц был выше предыдущего. Сколько всего
морковок подарил мышонок, если последний заяц на 10 сантиметров выше
первого?
(Намёк. Если сложить разность высот 2-го и 1-го зайцев, 3-го и 2-го,
и так далее , 10-го и 9-го зайцев, получится разность высот 10-го и
1-го. Следовательно, суммарно все дополнительные морковки соответствуют
стольким сантиметрам, на сколько последний заяц выше первого, то есть
10 морковок.)
5. Имеется 28 мышей и кошек. Известно, что из любых 10 живых существ хотя
бы 1 кошка. Какое самое большое количество мышей может быть здесь?
(9. Если мышей 10 или более, то найдётся десяток существ, среди
которых нет кошек.)
6. В мешочке 65 шариков. Докажите, что среди них или 9 шариков одного
цвета, или 9 шариков разного цвета.
7. В оранжерее все растения выше 50 см и ниже 3 м. Расстояние между любыми
двумя растениями не больше, чем разность их высот. Надо доказать, что
мышонок сможет, начиная от какого-то растения, обойти остальные растения
и вернуться обратно, пройдя в общей сложности не больше, чем 5 м.
(Намёк. Если обойти все растения по возрастанию высот, всего придётся
пройти не более разности высот самого большого и самого
малого растения (объясните это), то есть меньше, чем 2,5 метра.
Возвращаемся обратно, и снова выходит менее 2,5 метра.)
8. Каждый из 12 хомячков отправил почтой каждой их четырёх мышек 1, 2 или 3
подарка. Каждая мышка получила 9 или 10 подарков. Ведь почта иногда может
не доставить подарки. Сколько всего подарков получили мышки?
(Намёк. Хомячки отправили не более чем 3·12=36 подарков. Мышки же получили
не менее 4·9=36 подарков. Это возможно только если подарков было ровно 36),
9. Имеются табуретки и стулья. У всех табуреток по 3 ножки, у любого стула -
по 4. Если на всех табуретках и стульях сидят волки, всего получается
39 ножек и 7 голов. Сколько всего стульев и сколько табуреток?
(Намёк. Если 7 волков сядут на 7 табуреток, будет 35 ножек. До 39 не
хватает четырёх. Таким образом, эти ножки принадлежат стульям. А так как
у каждого стула на 1 ножку больше, чем у табуретки, плучаем
4 стула и 3 табуретки.)
|
|
