Подготовка в 179, Вторую, 57, Курчатовскую школы. 5, 6, 7 классы VIII

1. Имеются два числа. Число Д - их разность. Д на 180 больше, чем вычитаемое, но на 340 меньше, чем уменьшаемое. Найти имеющиеся числа.

2. Дано множество чисел, таких, что каждое следующее на 1 больше предыдущего. Первое из них 1, последнее число есть 2007. Делится ли на 2007 сумма всех этих чисел? Почему?

3. Число К - количество шкатулок, которые понадобятся, чтобы спрятать в каждой из них золотые шарики. Всего золотых шариков 17, в каждой шкатулке должно быть не менее одного шарика, количество шариков в любых двух шкатулках не может быть одинаковым. Найти самое большое из всех возможных К.

4. Двадцать пять школьников отправились в музей. Из них восьмерым по 8 лет, двенадцати - по 12, остальным по 10 лет. Десять человек из этих двадцати пяти всегда говорят правду, остальные всегда лгут. Среди лжецов 8-летних, 10-летних и 12-летних поровну. Сколько 12-летних, которые говорят правду?

5. Три одинаковых ручки стоят 100 долларов, но по отдельности их можно купить лишь по 40 долларов каждую ручку. При этом прибыль продавца одинакова с каждой такой продажи. Сколько должен стоить набор из 10 таких ручек, чтобы прибыль с продажи набора была такой же?

6. Если от числа отнять 3, то его квадрат уменьшится на 2022. Какое это было число, если предположить, что оно целое?

7. Если числитель и знаменатель положительной дроби увеличить на 12, то значение дроби уменьшится в два раза. Найти первоначальную дробь, считая её несократимой. Привести все возможные варианты и доказать, что других не существует.

8. Дан прямоугольник 7 на 6 миллиметров. Проводя прямые, параллельные его сторонам, можно разделить прямоугольник на пять квадратов. Все эти квадраты в миллиметрах должны иметь целочисленные размеры. Найти сумму длин всех отрезков используемых прямых внутри прямоугольника.

9. Коллекционер автомобилей Маврикий решил разместить все свои машины поровну в трёх гаражах. При этом одна машина оказалась лишней. Затем он разместил их поровну в пяти других гаражах, но тогда лишними оказались уже три машины. Наконец, когда он поставил их поровну в семь гаражей, осталось пять машин. Если попытаться поставить все машины в один гараж на 150 мест, машины не поместятся. Сколько автомобилей у Маврикия?