Примерные задания Всероссийской олимпиады школьников, 5 класс

1. На одной чаше весов - 18 одинаковых бриллиантов, на второй — 8 одинаковых сапфиров. Если добавить 2 сапфира к бриллиантам, весы уравновесятся. Сколько бриллиантов уравновесят один сапфир? Решение обосновать.

2. 6 мальчиков стоят по кругу. Из них двое всегда лгут, и они стоят рядом. Двое других всегда говорят правду; они тоже стоят рядом. Оставшиеся два мальчика могут и лгать, и говорить правду; они стоят не рядом. Фрекен Бок спрашивает мальчиков, куда они спрятали банку с вареньем.
Первый ответил: "в дупле дуба".
Второй ответил: "под ёлкой".
Третий ответил: "в березовой роще".
Четвёртый ответил: "около дома".
Пятый сказал: "под ёлкой".
Где находится банка с вареньем? Обязательно дайте пояснения.

3. Волк умеет делить числа на 4, ворона — прибавлять 3, заяц — умножать на 7, лиса — вычитать 5. Каждую свою операцию они применяют ровно один раз. В каком порядке они должны это сделать, чтобы получить 30? Изначально было дано число 8.

4. Имеются роботы, которые всегда говорят только правду, и роботы, которые всегда лгут. Выбрали наугад 6 роботов. Каждый из них сказал: «Среди остальных пятерых роботов ровно 4 таких, которые всегда лгут!». Сколько в таком случае среди этих 6-ти роботов могло быть роботов, которые говорят правду?

5. Первый гном написал 3-значное число. Второй гном, пытаясь написать рядом такое же число, перепутал местами 2 последние цифры. Третий гном сложил эти два числа. В результате получилось 4-значное число. Первые три цифры полученного числа были 195. Какова последняя цифра итогового числа? Обязательно дайте пояснения.

6. Первый математический робот находится в точке А, второй - в точке Б. Путь между ними состоит из подъёмов и спусков; горизонтальных участков нет. Оба робота на подъёме идут со скоростью 3 километра в час, а на спуске - 6 километров в час. Первый робот прошел до точки Б за два с половиной часа, а обратно - за три с половиной часа. Сколько километров необходимо пройти каждому из роботов от А до Б или наоборот?