Задачи репетитора. Всероссийская мат-олимпиада, 6-7 классы 2
1. Натуральное число M таково, что 2020 при делении на M даёт остаток 22.
Сколько всего таких чисел М?
2. Листы в книге пронумерованы так: первый лист — две страницы с номерами
1 и 2, второй лист — следующие две страницы с номерами 3 и 4, и так далее.
Пёс вырвал из книги несколько подряд идущих листов. Первая
вырванная страница имела номер 185, а номер последней вырванной страницы
состоял из тех же самых цифр, но идущих в ином порядке.
Сколько всего листов вырвал Пёс?
3. В выборах царя зверей приняли учстие Тигр и Медведь. В
течение трёх часов 27 зверей класса голосовали за одного из двух кандидатов.
В первые 2 часа за Тигра было отдано на 9 голосов больше, чем за Медведя.
А за последние 2 часа Медведь получил на 9 голосов больше, чем Тигр.
В результате победил Тигр. С преимуществом в какое наибольшее количество
голосов Тигр мог победить?
4. Расстояние между X и Y равно целому числу километров N. На
дороге между X и Y каждый километр стоит табличка: на одной стороне
таблички - расстояние до X, а на другой — до Y. Красная Шапочка шла
пешком из X в Y. В течение своего путешествия Красная Шапочка
посчитала для каждой таблички НОД чисел, написанных на ней. Оказалось,
что среди посчитанных делителей встречаются только числа 1, 3
и 13. Чему равно N?
5. У Медведя и Лиса есть несколько банок варенья. Каждая весит целое
число килограммов. Полный вес всех банок варенья Медведя в 13 раз больше
полного веса всех банок Лиса. Когда же Медведь отдал Лису банку с
наименьшим весом, вес всех его банок оказался в 8 раз больше
веса всех банок Лиса.
Какое наибольшее количество банок варенья могло изначально быть у Медведя?
6. Заяц расставил числа от 1 до 9 в клетки таблицы 3?3. При этом
сумма чисел на одной диагонали этой таблицы равна 7, а на другой равна 21.
Чему равна сумма чисел в пяти клетках, кроме угловых четырёх клеток
этой квадратной таблицы?
7. Четверо мышей: Соня, Оля, Лера и Ира гуляли вдоль тропинки. Они
решили сосчитать количество кустиков, которые росли вдоль этой тропинки.
Соня и Лера - серые мыши, а Оля и Ира - белые.
• Соня сказала: «Вдоль тропинки всего 15 кустиков.»
• Оля сказала, что количество кустиков делится на 11.
• Лера сказала: «Кустиков меньше, чем 25.»
• Ира сказала, что их количество делится на 22.
Одна серая мышь и одна белая сказали правду, а остальные две - ошиблись.
Сколько кустиков растёт вдоль тропинки?
8. Всего было 20 мышей, среди них серые и белые. Серые решили
сделать подарки белым.
Каждая серая мышь составила список из всех белых мышей, кому она хотела
сделать подарок (может быть так, что и никому).
Известно, что не существует трёх серых мышей, у которых списки совпадали бы
по количеству белых. Какое наименьшее количество белых мышей могло здесь быть?
9. Серые и белые мыши (всего их было менее 50 мышей) решили разделиться на
пары для танца. В каждой паре должна была быть одна серая и одна белая мышь.
Однако без пары по разным причинам остались четверть серых мышей и 2/7 белых. Сколько всего
было мышей?
|
|