Задания к Всероссийской олимпиаде школьников, 6 класс

1. В выражении . . . + . . = 1056 замените точки цифрами таким образом, чтобы получилось верное равенство. В этом равенстве все 9 цифр должны быть разными.

2. В понедельник было 1 сентября. Петя говорит по нечётным числам неправду, а по чётным - правду. В какие из первых 10 дней сентября Петя мог бы сказать: «Завтра я буду заниматься математикой? Известно, что с понедельника по среду Петя занимается математикой, в воскресенье он учит английский, а с четверга по субботу — занимается всеми остальными предметами, кроме английского и математики.

3. За один шаг можно выполнить лишь одну из следующих двух операций: или стереть последнюю цифру числа, или умножить число на 2. Может ли Фёдор получить число 25, проделав несколько таких шагов, если 20 - исходное число?

4. В кружке любителей математики есть три участника, которые активно участвуют в математических олимпиадах. Олимпиады проходят раз в год. Ребята, которые приняли участие в олимпиаде в первый раз, получают одну медаль. Те, кто второй раз примут участие в олимпиаде, получат по 2 медали. Третий раз - 3 медали и т.д. Все свои медали члены клуба вывесили на одну доску. В результате получилось всего 23 медали. Который по счёту раз принял участие в олимпиаде мальчик, впервые выступивший на олимпиаде не менее, чем на 2 года раньше, чем двое других участников?

5. По кругу стоят, держась за руки, шестьдесят человек. Среди них есть люди, которые всегда говорят только правду, и люди, которые всегда лгут. Каждый из этих людей утверждает, что среди тех первых пяти человек, что стоят справа от него, имеется хотя бы двое лжецов. Сколько людей, которые говорят правду?