Задания Всероссийской олимпиады школьников, 7 класс, окружная

1. Буратино на прошлой неделе покупал чёрные корочки хлеба по 9 руб. за штуку и белые по 4 руб. за штуку. Но сегодня ситуация изменилась, и черные корочки хлеба стали стоить по 4 руб., а белые корочки - по 9 руб. Буратино расстроился и сказал, что если бы он купил эти корочки не на прошлой неделе, а сегодня, то он потратил бы на 74 рубля меньше. Не ошибся ли Буратино? Решение обосновать.

2. В лесу 15 ёлок растут по линии в ряд. Под каждой ёлкой сидят по несколько зайцев. Каждый заяц видит только всех зайцев под своей ёлкой и под ближайшими соседними ёлками. Но он не может видеть других зайцев. Хотя бы один заяц под каждой из ёлок подсчитал, сколько всего зайцев он видит. Можно ли по полученным в результате сведениям определить, сколько зайцев сидит под каждой ёлкой?

3. Известно, что если из первой обыкновенной дроби отнять другую, то получится число, которое втрое больше, чем произведение этих дробей. Привести пример таких дробей дать подробные обоснования.

4. Дано число 49. Можно выполнять всего две операции: или стирать последнюю цифру числа, или умножать число на 2. Можно ли, выполнив несколько таких действий, получить число 50?

5. Бабочка летает по кругу. В том же направлении и по этой же траектории летит стрекоза, которая обгоняет бабочку каждые 48 секунд. Через ккие онтервалы времени стрекоза будет встречаться с бабочкой, если она полетит в противоположном направлении - навстречу бабочке?

6. Построить 4 луча: АX, AY, AZ и AW таким образом, чтобы на полученном чертеже присутствовали углы 140, 130, 120, 110 и 100 градусов. Какие это углы?

7. Три гномика решили купить по одному математическому роботу. Первому гномику не хватало на покупку одной пятой стоимости робота, второму - четверти, а третьему - трети стоимости робота. Узнав об этом, продавец решил снизить цену каждого математического робота на 940 рублей. Тогда, сложив все свои деньги, гномики смогли купить по одному роботу. Какова была первоначальная цена одного математического робота, если гномики потратили все свои деньги, а все роботы продавались по одной и той же цене?

8. Андрей, Никита и Илья увидели в магазине редкие коллекционные модели Феррари. Все машинки продавались по одной цене. Никите не хватало на одну машинку трети ее цены, Илье - четверти, а у Андрея денег было достаточно на одну машинку, но на вторую ему не хватало трети ее цены. В этот момент им позвонил Марк и сказал, что в соседнем магазине он видел модели дешевле. Ребята отправились в соседний магазин, но там все машинки были уже распроданы. Вернуться в первый магазин ребята смогли только на следующий день, и увидели, что цена на каждую машинку выросла на одинаковое количество рублей. Сложив все свои деньги, Андрей, Никита и Илья смогли купить себе по одной модели, истратив ровно все деньги без остатка. Во сколько раз сумма, на которую увеличилась цена одной модели, меньше первоначальной её стоимости?

9. Тринадцать учеников математической школы решили объединиться в математический клуб "Профессионал". Они договорились, что каждый из них будет либо всегда высказывать истинные утверждения, либо всегда будет намеренно ошибаться, так что каждое его утверждение будет ложным. После этого все участники клуба по очереди сказали следующее: "Из всех утверждений, сделанных до меня, ошибочных ровно на 2 больше, чем верных". Сколько было учеников, которые решили высказывать только истинные утверждения?

10. Каждая из вершин куба помечена числом. Все эти числа отличны одно от другого. Будем считать число правильным, если оно равно сумме чисел из трёх соседних с ним вершин куба. Какое наибольшее количество правильных чисел возможно для одного куба?