Примерные задания Всероссийской олимпиады школьников, 7 класс

1. Пусть разность знаменателя и числителя некоторой дроби равна 24. При этом значение дроби равно 7/13. Возможно ли такое? Решение обосновать.

2. Два робота красят забор. Каждому роботу надо покрасить по 5 квадратных метров забора. Но первый робот красит заборы в 5 раз быстрее, чем второй. Поэтому и закончит он работу на 1 час раньше второго. За какое время покрасит забор второй робот?

3. В классе 10 человек. В самом начале четверти Мария Ивановна проставила этим ученикам следующие условные оценки: первому - одну пятёрку, второму - две, третьему - три, и т.д.; десятому - 10. Затем Мария Ивановна поставила у доски математического робота и сказала: "Каждую минуту вы можете попросить, чтобы этот робот выставил ровно девяти из вас по одной условной пятёрке. Но если в какой-либо момент условных пятёрок у вас окажется поровну, то я проставлю каждому из вас все ваши пятёрки в журнал." Смогут ли ученики получить свои пятерки в журнал?

4. Числитель некоторой дроби увеличили на 1, а её знаменатель при этом увеличили на 100. Может ли новая дробь получиться больше, чем первоначальная?

5. Виктор хотел перевести скорость самолета из метров в секунду в километры в час. При этом у него получилось 2000 км/ч, что в километре 600 метров, а в часе 10000 секунд. Какой же ответ правильный?

6. Часовщик Джон заметил, что угол межу минутной и часовой стрелками часов в определенный момент времени такой же, как и через час после этого. Найти угол, который был в это время между стрелками часовщика Джона.

7. Первый и второй роботы одновременно начали двигаться навстречу друг другу по прямой соответственно из пунктов А и Б. Скорости роботов были постоянны во времени. В 12 часов ночи они встретились. После этого роботы продолжили двигаться, так что первый достиг пункта Б в четыре часа утра, а второй - пункта А в девять утра. В какое время роботы начали движение?

8. Имеются 2 параллельные прямые, и, кроме них, еще 8 прямых, ни одна из которых не параллельна ни одной из всех 10-ти прямых. Из всех этих 10-ти прямых, ровно 3 пересекаются в одной точке. Найдите полное количество точек пересечения всех этих 10-ти прямых.